




Una primera aproximació al concepte de magnitud seria “quelcom que es pugui mesurar”. I, què significa mesurar? Podríem dir que mesurar consisteix en “obtenir un nombre que representi quanta quantitat hi ha d’una determinada magnitud”.
Per un mestre o mestra, serà necessari:
Els nens comencen per comparar les coses amb parts del seu cos; posteriorment prenen objectes de referència; i, finalment, se n’adonen de la necessitat d’adoptar una unitat de mesura comú per tal de comunicar-se amb la resta d’infants.
Situacions de mesura:
Les magnituds contínues i discretes:
Mètodes de mesura:
Exemples : l’àrea duna classe es pot trobar de forma directa comptant les rajoles. També es pot trobar de forma indirecta a través de les mesures de les dues dimensions (llarg i ample), emprant la fórmula que tots coneixem

Resum d’activitats:
Relacions per igualtat o semblança
• Objectes iguals: emparellament.
• Més objectes: classificacions segons criteris preestablerts o lliures.
Correspondències entre objectes d’un grup i d’un altre --> Seriacions d’objectes amb alternança de qualitats.
Jocs d’identificació d’un element a partir de l’afirmació o la negació dels seus atributs. --> Amb tot tipus de materials i especialment amb els blocs lògics.
Ordenacions d’objectes segons una qualitat creixent o decreixent.
Jocs de la màquina de canviar qualitats. --> Es realitzen de forma quasi exclusiva amb material lògic.
Alguns exemples:
Emparellar: visual, tàctil, musical. Emparellar per utilitat.
Joc de la peça amagada. Jocs de veritat.
Ordenació tàctil-visual (per volums per exemple).
Màquina de canviar qualitats.

Classificació d’un conjunt pel seu nombre d’elements
Preparem unes cartolines petites (d’uns 10x10 cm). En cadascuna dibuixem diversos objectes: juguets de tres tipus (globus, pilotes i ninots), de tres colors (verd, blau i vermell) i en quantitats diferents (3, 4 i 5). Tindrem 27 elements.
Les donem als nens i els demanem que facin tres piles. Típicament començaran a classificar-les per colors. Tornem a barrejar i els demanem que classifiquin segons un altre criteri (ho faran segons la forma, és a dir, el juguet). Aleshores se’ls pregunta “a veure qui descobreix una altra manera de fer tres munts”. La solució es fer-ho en funció del nombre d’elements.
Si no se’ls ocorre aquesta solució, és que encara no estan prou madurs i que la noció de quantitat encara no està clara. No s’ha d’insistir ni explicar res.
La màquina de canviar quantitats
El mateix que la màquina de canviar qualitats, però ara, en comptes de material lògic, farem servir pedretes.
Els signes de la màquina són, per exemple: +2 o bé +3, etc.
Per una porta entra un nombre conegut de pedres i darrera de la màquina els jugadors han de realitzar l’acció que el signe indica, és a dir, afegir-ne 2 o bé afegir-ne 3... Quan surten les pedretes les compten.
Convé treballar la màquina +0.
Aleshores introduirem la màquina per treure que tindrà com a símbols el -2, el -3
El joc del garatge
Per treballar el càlcul mental. Aquest exemple és per al grup de 4 anys i es treballa fins al 4.
Juguen dos nens, un a cada costat d’una capsa de sabates que té dos forats als laterals pels que hi caben exactament dos cotxes de cartolina. Prèviament, els nens han vist que la capsa està dividida en 4 parts i que a cadascuna hi cap exactament un cotxe.
Cada nen o nena té 4 cotxes. Es tapa la capsa i comença el joc: el primer introdueix en la capsa el nombre de cotxes que vol (1, 2, 3, 4 o cap ni un) dient-ho en veu alta i amagant els altres. El segon nen ha de decidir quants cotxes hi posarà per tal que el garatge quedi ple.

Longitud
Pes
Capacitat
Temps
Usos del nombre: L’Infant rep molts imputs numèrics des que neix. Per tant, és necessari que coneguem els contexts numèrics que són els que coneix l’Infant
Seqüència verbal: és quan es fa servir la seqüència en ordre (un, dos, tres, quatre...). Es pot usar per trobar el cardinal d’un conjunt; la posició que ocupa un element en una ordenació; per fer operacions; per mesurar...cardinal, ordinal, operacions, mesurar.
Estratègies per quantificar:
Hi ha diferents formes de representar els nombres i per tant hi ha diferents sistemes de numeració. Als infants se’ls ha d’ensenyar el nostre sistema de numeració (el decimal) per tal que es puguin moure per la nostre societat i per comunicar-se.
35233 = 3 Desenes de miler + 5 milers + 2 centenes + 3 desenes + 3 unitats.
30.000 + 5000 + 200 + 30 + 3
3x104 + 5x103 +2x102 + 3x10 + 3
És additiu però s’anomena un sistema multiplicatiu. Per passar de les unitats a les desenes necessitem 10 grups d’unitats. Per passar de les desenes a les centenes necessitem 10 grups de desenes.
• Concepte de veritat lògica
Un argument és un conjunt d’una o més oracions. L’última oració s’anomena conclusió mentre que les anteriors s’anomenen premisses. De forma intuïtiva, les premisses són l’evidència que ens ha de convèncer de la veracitat de la conclusió. És habitual representar els arguments fent un llistat de les premisses i la conclusió separant-la mitjançant una línia.
Oració 1
Oració 2
.
.
.
------------------
Conclusió
Un argument és correcte sempre que si totes les premisses són certes, la conclusió també ho és. Aleshores direm que la conclusió es conseqüència lògica de les premisses.
• Elements de la lògica proposicional: proposicions i connectors
La Lògica de Proposicions consta de dos elements fonamentals: les proposicions o enunciats i els connectius o operadors lògics.
Una proposició o enunciat es qualsevol frase o oració declarativa, és a dir, qualsevol expressió lingüística de la qual es pot afirmar si és certa o falsa. Per tant, no serien proposicions les oracions interrogatives.
Anomenem connectiu a un nexe o partícula del llenguatge que afecta a una o més proposicions actuant sobre elles per tal de convertir-les en d’altres proposicions. Així, partint de proposicions simples podem formar-ne de compostes usant diversos connectius.
| Negació | ¬ |
| Conjunció (i) | (p∧q) |
| Disjunció (o) | (pVq) |
| Implicació (condicional) | (p-->q) |
| Bicondicional | (p<---->q) |
• Taules de veritat
Ens queda un aspecte per analitzar: la semàntica del llenguatge lògic. La interpretació o significat d’una proposició és el seu valor de veritat, és a dir, si és certa o falsa. Per determinar-ho, assignarem a cada lletra proposicional un valor de veritat (V simbolitzarà vertader, mentre que F simbolitzarà fals).
El valor de veritat d’una fórmula composta està determinat pel valor de veritat de les lletres proposicionals que en ella intervenen. Aquesta determinació s’organitza a través de les anomenades taules de veritat. A continuació mostrem les taules de veritat per als connectius prèviament definits.

La correcció d’un raonament també es pot demostrar usant regles lògiques conegudes (regles d’inferència). A continuació exposarem tres regles d’inferència àmpliament usades:
Regla de modus ponens:
(p→q)
p
---------
q
Regla de modus tollens:
(p→q)
¬q
---------
¬p
Regla de transitivitat:
(p→q)
(q→r)
---------
(p→r)
3. TEORIA DE CONJUNTS
Aquesta teoria és la que ens permet sistematitzar les relacions que els infants van construint per raonar de forma lògica i elaborar conceptes, en particular, el concepte de nombre.
• Conjunts: definicions bàsiques
Quan es busquen semblances entre diversos objectes, es poden agrupar els que siguin semblants. Per exemple, un infant pot fer una agrupació d’objectes que siguin de color vermell.
- Per extensió (es coneixen tots els seus membres): D={ gener, febrer, ...}
- Per comprensió (es coneix una qualitat comú a tots els membres): D={ de l’any}
Ens limitarem a donar un significat intuïtiu de cada una d’aquestes relacions:
a. Pertinença: el nen ha de ser conscient de que, per exemple, la pilota groga forma part del grup de coses grogues.
b. Inclusió: p -->q. Adonar-se de que, per exemple, el grup dels gossos està dins del grup dels animals. (En aquest cas, es diu que el conjunt dels gossos és un subconjunt del conjunt dels animals).
c. Complementari: ¬p. S’associa amb la negació d’un atribut. Es pot treballar escollint una pilota que no sigui gran, per exemple.
d. Intersecció: p˄q. Es tracta de comprendre que un objecte pot pertànyer a més d’un grup alhora, com per exemple una pilota vermella que pertany al grup dels juguets i de les coses vermelles.
e. Unió: p v q. Juntant grups s’obtenen d’altres més grans. Per exemple, els gossos, els gats, el conills...formen el conjunt dels animals.
• Relacions: classificació i seriació
Aassociar entre sí elements d’un mateix conjunt segons un criteri determinat, organitzant així aquests elements. Això és el que s’anomena establir una relació en un conjunt. Hi ha dos tipus fonamentals de relació, en el sentit matemàtic del terme, que donen lloc a dos processos importants en el desenvolupament cognitiu de l’Infant i que són la base tant per l’elaboració del concepte de nombre com d’altres conceptes matemàtics i no matemàtics:
a. Classificacions:
Fem una classificació quan, en comparar tots el elements d’un conjunt segons una determinada qualitat, agrupem els que són iguals respecte a aquesta qualitat, és a dir, els que són equivalents.
Exemple: podem classificar als nens de la classe pel color del seu cabell, obtenint així vàries classes amb un determinat nombre d’elements cadascuna.
Per tant, la classificació és una estructura lògica molt important pel desenvolupament del coneixement en general i per les matemàtiques en particular. Molts dels conceptes matemàtics es formen sobre relacions d’equivalència, les quals permeten abstraure idees que representen la realitat: el concepte de nombre, el concepte de magnitud... Per una altra banda, la classificació és una forma d’organització dels conceptes: nombres parells i senars, corbes tancades i obertes, persones segons la seva procedència...
b. Seriacions
Organitzar objectes a partir de la diferència que presenten segons una determinada variable. El grau en que es diferencien, permet fer una ordenació que dóna lloc a una seqüència o sèrie d’objectes, disposats segons algun criteri. Matemàticament, estem establint una relació d’ordre dins d’un conjunt. Per exemple, es pot ordenar el conjunt dels nombre naturals segons el criteri “ser menor que”, o un conjunt de recipients segons el criteri “tenir més capacitat que”, o un conjunt de nens segons l’alçada, de més baix a més alt.
Per ordenar una sèrie d’objectes, és necessari relacionar dos d’ells i al mateix temps coordinar aquesta relació amb les altres que s’han fet i que es faran. És necessari comparar dos a dos tots els objectes? Sabem que no en virtut d’una propietat lògica molt important: la propietat transitiva. Els nens, al principi, ordenen de manera perceptiva, sense cap raonament, i només són capaços d’ordenar tres objectes o, com a molt, cinc.
En resum, amb els nens petits es treballen dos tipus de seriacions, l’ordenació segons diversos graus d’una mateixa qualitat (fonamental per al concepte de nombre i de magnitud, ja que implica la comparació de quantitats) i la repetició d’una seqüència o patró.