Tema 2. Lògica i conjunts

• Concepte de veritat lògica

Un argument és un conjunt d’una o més oracions. L’última oració s’anomena conclusió mentre que les anteriors s’anomenen premisses. De forma intuïtiva, les premisses són l’evidència que ens ha de convèncer de la veracitat de la conclusió. És habitual representar els arguments fent un llistat de les premisses i la conclusió separant-la mitjançant una línia.

Oració 1

Oració 2

.

.

.

------------------

Conclusió

Un argument és correcte sempre que si totes les premisses són certes, la conclusió també ho és. Aleshores direm que la conclusió es conseqüència lògica de les premisses.

• Elements de la lògica proposicional: proposicions i connectors

La Lògica de Proposicions consta de dos elements fonamentals: les proposicions o enunciats i els connectius o operadors lògics.

Una proposició o enunciat es qualsevol frase o oració declarativa, és a dir, qualsevol expressió lingüística de la qual es pot afirmar si és certa o falsa. Per tant, no serien proposicions les oracions interrogatives.

Anomenem connectiu a un nexe o partícula del llenguatge que afecta a una o més proposicions actuant sobre elles per tal de convertir-les en d’altres proposicions. Així, partint de proposicions simples podem formar-ne de compostes usant diversos connectius.

Així doncs, en lògica representem les proposicions mitjançant lletres proposicionals (p, q, r, ...) i els connectius amb els símbols ¬, ∧, ∨, →, ↔.

Negació	¬
Conjunció (i)	(p∧q)
Disjunció (o)	(pVq)
Implicació (condicional)	(p-->q)
Bicondicional	(p<---->q)

• Taules de veritat

Ens queda un aspecte per analitzar: la semàntica del llenguatge lògic. La interpretació o significat d’una proposició és el seu valor de veritat, és a dir, si és certa o falsa. Per determinar-ho, assignarem a cada lletra proposicional un valor de veritat (V simbolitzarà vertader, mentre que F simbolitzarà fals).

El valor de veritat d’una fórmula composta està determinat pel valor de veritat de les lletres proposicionals que en ella intervenen. Aquesta determinació s’organitza a través de les anomenades taules de veritat. A continuació mostrem les taules de veritat per als connectius prèviament definits.

La correcció d’un raonament també es pot demostrar usant regles lògiques conegudes (regles d’inferència). A continuació exposarem tres regles d’inferència àmpliament usades:

Regla de modus ponens:

(p→q)

p

---------

q

Regla de modus tollens:

(p→q)

¬q

---------

¬p

Regla de transitivitat:

(p→q)

(q→r)

---------

(p→r)

3. TEORIA DE CONJUNTS

Aquesta teoria és la que ens permet sistematitzar les relacions que els infants van construint per raonar de forma lògica i elaborar conceptes, en particular, el concepte de nombre.

• Conjunts: definicions bàsiques

Quan es busquen semblances entre diversos objectes, es poden agrupar els que siguin semblants. Per exemple, un infant pot fer una agrupació d’objectes que siguin de color vermell.

- Per extensió (es coneixen tots els seus membres): D={ gener, febrer, ...}

- Per comprensió (es coneix una qualitat comú a tots els membres): D={ de l’any}

Ens limitarem a donar un significat intuïtiu de cada una d’aquestes relacions:

a. Pertinença: el nen ha de ser conscient de que, per exemple, la pilota groga forma part del grup de coses grogues.

b. Inclusió: p -->q. Adonar-se de que, per exemple, el grup dels gossos està dins del grup dels animals. (En aquest cas, es diu que el conjunt dels gossos és un subconjunt del conjunt dels animals).

c. Complementari: ¬p. S’associa amb la negació d’un atribut. Es pot treballar escollint una pilota que no sigui gran, per exemple.

d. Intersecció: p˄q. Es tracta de comprendre que un objecte pot pertànyer a més d’un grup alhora, com per exemple una pilota vermella que pertany al grup dels juguets i de les coses vermelles.

e. Unió: p v q. Juntant grups s’obtenen d’altres més grans. Per exemple, els gossos, els gats, el conills...formen el conjunt dels animals.

• Relacions: classificació i seriació

Aassociar entre sí elements d’un mateix conjunt segons un criteri determinat, organitzant així aquests elements. Això és el que s’anomena establir una relació en un conjunt. Hi ha dos tipus fonamentals de relació, en el sentit matemàtic del terme, que donen lloc a dos processos importants en el desenvolupament cognitiu de l’Infant i que són la base tant per l’elaboració del concepte de nombre com d’altres conceptes matemàtics i no matemàtics:

a. Classificacions:

Fem una classificació quan, en comparar tots el elements d’un conjunt segons una determinada qualitat, agrupem els que són iguals respecte a aquesta qualitat, és a dir, els que són equivalents.

Exemple: podem classificar als nens de la classe pel color del seu cabell, obtenint així vàries classes amb un determinat nombre d’elements cadascuna.

Per tant, la classificació és una estructura lògica molt important pel desenvolupament del coneixement en general i per les matemàtiques en particular. Molts dels conceptes matemàtics es formen sobre relacions d’equivalència, les quals permeten abstraure idees que representen la realitat: el concepte de nombre, el concepte de magnitud... Per una altra banda, la classificació és una forma d’organització dels conceptes: nombres parells i senars, corbes tancades i obertes, persones segons la seva procedència...

b. Seriacions

Organitzar objectes a partir de la diferència que presenten segons una determinada variable. El grau en que es diferencien, permet fer una ordenació que dóna lloc a una seqüència o sèrie d’objectes, disposats segons algun criteri. Matemàticament, estem establint una relació d’ordre dins d’un conjunt. Per exemple, es pot ordenar el conjunt dels nombre naturals segons el criteri “ser menor que”, o un conjunt de recipients segons el criteri “tenir més capacitat que”, o un conjunt de nens segons l’alçada, de més baix a més alt.

Per ordenar una sèrie d’objectes, és necessari relacionar dos d’ells i al mateix temps coordinar aquesta relació amb les altres que s’han fet i que es faran. És necessari comparar dos a dos tots els objectes? Sabem que no en virtut d’una propietat lògica molt important: la propietat transitiva. Els nens, al principi, ordenen de manera perceptiva, sense cap raonament, i només són capaços d’ordenar tres objectes o, com a molt, cinc.

En resum, amb els nens petits es treballen dos tipus de seriacions, l’ordenació segons diversos graus d’una mateixa qualitat (fonamental per al concepte de nombre i de magnitud, ja que implica la comparació de quantitats) i la repetició d’una seqüència o patró.